В монгольском этноним казак и перевод от слова кусок немного разные. У казахов кесек, что тоже не совсем казак. Это слово упоминается еще до монгольского нашествия. Например район Газах в Азербайджане. А туда как известно тюрки приходили. Возможно у монгол также был этот соционим, но я о нем не слышал из источников.
Калмак в Золотой орде упоминается. В восточной степи не слышал чтобы он присутствовал.